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Eratostene.

La misurazione del meridiano terrestre


  [Περὶ τοῦ μεγέθους τῆς γῆς.]

Περὶ δὲ τοῦ μεγέθους τῆς γῆς πλείους μὲν γεγό-

νασι δόξαι παρὰ τοῖς φυσικοῖς, βελτίους δὲ τῶν ἄλλων

εἰσὶν ἥ τε Ποσειδωνίου καὶ ἡ ᾿Ερατοσθένους, αὕτη

μὲν διὰ γεωμετρικῆς ἐφόδου δεικνύουσα τὸ μέγεθος

αὐτῆς· ἡ δὲ τοῦ Ποσειδωνίου ἐστὶν ἁπλουστέρα. ῾Εκά-

τερος δὲ αὐτῶν ὑποθέσεις τινὰς λαμβάνων διὰ τῶν 

ἀκολούθων ταῖς ὑποθέσεσιν ἐπὶ τὰς ἀποδείξεις παρα-

γίνεται. . . . . . . .

Καὶ ἡ μὲν τοῦ Ποσειδωνίου ἔφοδος περὶ τοῦ κατὰ

τὴν γῆν μεγέθους τοιαύτη, ἡ δὲ τοῦ ᾿Ερατοσθένους

γεωμετρικῆς ἐφόδου ἐχομένη, καὶ δοκοῦσά τι ἀσαφέ-

στερον ἔχειν. Ποιήσει δὲ σαφῆ τὰ λεγόμενα ὑπ' αὐτοῦ

τάδε προϋποτιθεμένων ἡμῶν. ῾Υποκείσθω ἡμῖν πρῶ-

τον μὲν κἀνταῦθα, ὑπὸ τῷ αὐτῷ μεσημβρινῷ κεῖσθαι

Συήνην καὶ ᾿Αλεξάνδρειαν, καὶ δεύτερον, τὸ διάστημα

τὸ μεταξὺ τῶν πόλεων πεντακισχιλίων σταδίων εἶναι,

καὶ τρίτον, τὰς καταπεμπομένας ἀκτῖνας ἀπὸ διαφόρων

μερῶν τοῦ ἡλίου ἐπὶ διάφορα τῆς γῆς μέρη παραλλή-

λους εἶναι· οὕτως γὰρ ἔχειν αὐτὰς οἱ γεωμέτραι ὑπο-

τίθενται. Τέταρτον ἐκεῖνο ὑποκείσθω, δεικνύμενον

παρὰ τοῖς γεωμέτραις, τὰς εἰς παραλλήλους ἐμπιπτού-

σας εὐθείας τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ποιεῖν, πέμπτον,

τὰς ἐπὶ ἴσων γωνιῶν βεβηκυίας περιφερείας ὁμοίας

εἶναι, τουτέστι τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν καὶ τὸν αὐτὸν

λόγον ἔχειν πρὸς τοὺς οἰκείους κύκλους, δεικνυμένου

καὶ τούτου παρὰ τοῖς γεωμέτραις. ῾Οπόταν γὰρ περι-

φέρειαι ἐπὶ ἴσων γωνιῶν ὦσι βεβηκυῖαι, ἂν μία ἡτισ-

οῦν αὐτῶν δέκατον ᾖ μέρος τοῦ οἰκείου κύκλου, καὶ

αἱ λοιπαὶ πᾶσαι δέκατα μέρη γενήσονται τῶν οἰκείων

κύκλων.

     Τούτων ὁ κατακρατήσας οὐκ ἂν χαλεπῶς τὴν ἔφο-

δον τοῦ ᾿Ερατοσθένους καταμάθοι ἔχουσαν οὕτως. ῾Υπὸ

τῷ αὐτῷ κεῖσθαι μεσημβρινῷ φησι Συήνην καὶ ᾿Αλε-

ξάνδρειαν. ᾿Επεὶ οὖν μέγιστοι τῶν ἐν τῷ κόσμῳ οἱ

μεσημβρινοί, δεῖ καὶ τοὺς ὑποκειμένους τούτοις τῆς

γῆς κύκλους μεγίστους εἶναι ἀναγκαίως. ῞Ωστε ἡλίκον

ἂν τὸν διὰ Συήνης καὶ ᾿Αλεξανδρείας ἥκοντα κύκλον

τῆς γῆς ἡ ἔφοδος ἀποδείξει αὕτη, τηλικοῦτος καὶ ὁ

μέγιστος ἔσται τῆς γῆς κύκλος. Φησὶ τοίνυν, καὶ ἔχει

οὕτως, τὴν Συήνην ὑπὸ τῷ θερινῷ τροπικῷ κεῖσθαι 

κύκλῳ. ῾Οπόταν οὖν ἐν καρκίνῳ γενόμενος ὁ ἥλιος

καὶ θερινὰς ποιῶν τροπὰς ἀκριβῶς μεσουρανήσῃ, ἄσκιοι

γίνονται οἱ τῶν ὡρολογίων γνώμονες ἀναγκαίως, κατὰ

κάθετον ἀκριβῆ τοῦ ἡλίου ὑπερκειμένου· καὶ τοῦτο γί-

νεσθαι λόγος ἐπὶ σταδίους τριακοσίους τὴν διάμετρον.

᾿Εν ᾿Αλεξανδρείᾳ δὲ τῇ αὐτῇ ὥρᾳ ἀποβάλλουσιν οἱ τῶν

ὡρολογίων γνώμονες σκιάν, ἅτε πρὸς ἄρκτῳ μᾶλλον

τῆς Συήνης ταύτης τῆς πόλεως κειμένης. ῾Υπὸ τῷ

αὐτῷ μεσημβρινῷ τοίνυν καὶ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν πό-

λεων κειμένων, ἂν περιαγάγωμεν περιφέρειαν ἀπὸ τοῦ

ἄκρου τῆς τοῦ γνώμονος σκιᾶς ἐπὶ τὴν βάσιν αὐτὴν

τοῦ γνώμονος τοῦ ἐν ᾿Αλεξανδρείᾳ ὡρολογίου, αὕτη ἡ

περιφέρεια τμῆμα γενήσεται τοῦ μεγίστου τῶν ἐν τῇ

σκάφῃ κύκλων, ἐπεὶ μεγίστῳ κύκλῳ ὑπόκειται ἡ τοῦ

ὡρολογίου σκάφη. Εἰ οὖν ἑξῆς νοήσαιμεν εὐθείας διὰ

τῆς γῆς ἐκβαλλομένας ἀφ' ἑκατέρου τῶν γνωμόνων,

πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς γῆς συμπεσοῦνται. ᾿Επεὶ οὖν τὸ

ἐν Συήνῃ ὡρολόγιον κατὰ κάθετον ὑπόκειται τῷ ἡλίῳ,

ἂν ἐπινοήσωμεν εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ ἡλίου ἥκουσαν ἐπ'

ἄκρον τὸν τοῦ ὡρολογίου γνώμονα, μία γενήσεται

εὐθεῖα ἡ ἀπὸ τοῦ ἡλίου μέχρι τοῦ κέντρου τῆς γῆς

ἥκουσα. ᾿Εὰν οὖν ἑτέραν εὐθεῖαν νοήσωμεν ἀπὸ τοῦ

ἄκρου τῆς σκιᾶς τοῦ γνώμονος δι' ἄκρου τοῦ γνώμονος

ἐπὶ τὸν ἥλιον ἀναγομένην ἀπὸ τῆς ἐν ᾿Αλεξανδρείᾳ

σκάφης, αὕτη καὶ ἡ προειρημένη εὐθεῖα παράλληλοι

γενήσονται ἀπὸ διαφόρων γε τοῦ ἡλίου μερῶν ἐπὶ 

διάφορα μέρη τῆς γῆς διήκουσαι. Εἰς ταύτας τοίνυν

παραλλήλους οὔσας ἐμπίπτει εὐθεῖα ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου

τῆς γῆς ἐπὶ τὸν ἐν ᾿Αλεξανδρείᾳ γνώμονα ἥκουσα,

ὥστε τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ποιεῖν· ὧν ἡ μέν ἐστι

πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς γῆς κατὰ σύμπτωσιν τῶν εὐθειῶν,

αἳ ἀπὸ τῶν ὡρολογίων ἤχθησαν ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς

γῆς, γινομένη, ἡ δὲ κατὰ σύμπτωσιν ἄκρου τοῦ ἐν ᾿Αλε-

ξανδρείᾳ γνώμονος καὶ τῆς ἀπ' ἄκρου τῆς σκιᾶς αὐτοῦ

ἐπὶ τὸν ἥλιον διὰ τῆς πρὸς αὐτὸν ψαύσεως ἀναχθείσης

γεγενημένη. Καὶ ἐπὶ μὲν ταύτης βέβηκε περιφέρεια ἡ

ἀπ' ἄκρου τῆς σκιᾶς τοῦ γνώμονος ἐπὶ τὴν βάσιν

αὐτοῦ περιαχθεῖσα, ἐπὶ δὲ τῆς πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς

γῆς ἡ ἀπὸ Συήνης διήκουσα εἰς ᾿Αλεξάνδρειαν. ῞Ομοιαι

τοίνυν αἱ περιφέρειαί εἰσιν ἀλλήλαις ἐπ' ἴσων γε γω-

νιῶν βεβηκυῖαι. ῝Ον ἄρα λόγον ἔχει ἡ ἐν τῇ σκάφῃ

πρὸς τὸν οἰκεῖον κύκλον, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον καὶ ἡ

ἀπὸ Συήνης εἰς ᾿Αλεξάνδρειαν ἥκουσα. ῾Η δέ γε ἐν

τῇ σκάφῃ πεντηκοστὸν μέρος εὑρίσκεται τοῦ οἰκείου

κύκλου. Δεῖ οὖν ἀναγκαίως καὶ τὸ ἀπὸ Συήνης εἰς

᾿Αλεξάνδρειαν διάστημα πεντηκοστὸν εἶναι μέρος τοῦ

μεγίστου τῆς γῆς κύκλου· καὶ ἔστι τοῦτο σταδίων πεν-

τακισχιλίων. ῾Ο ἄρα σύμπας κύκλος γίνεται μυριάδων

εἴκοσι πέντε.

Καὶ ἡ μὲν ᾿Ερατοσθένους ἔφοδος τοιαύτη.

(Cleomede, De moutu circulari corporum caelestium,

p. 90, 18. 94, 23 ss. Ziegler)

 

 

Sulla grandezza della terra

Riguardo la grandezza della terra vi sono molte opinioni presso i fisici, ma migliori delle altre sono quelle di Posidonio e di Eratostene, questa che dimostra la sua grandezza attraverso un ragionamento geometrico, mentre quella di Posidonio è più semplice. Ciascuno di loro prendendo alcune ipotesi attraverso ciò che ne consegue giunge alle dimostrazioni…

. . . . . . .

E il ragionamento di Posidonio riguardo la grandezza della terra è così, mentre quello di Eratostene si attiene ad un procedimento geometrico e sembra avere qualcosa di più difficile da capire. Renderanno più comprensibili le sue parole queste nostre premesse.  Si consideri: primo, che Siene e Alessandria si trovino sotto lo stesso meridiano; secondo, che la distanza fra le due città sia di cinquemila stadi; terzo, che i raggi che scendono da diverse parti del sole su diverse parti della terra siano paralleli: così infatti li considerano i geometri; si consideri come quarto, dimostrato dai geometri, che le rette che tagliano delle parallele formino gli angoli corrispondenti uguali; quinto, che gli archi che corrispondono ad  angoli uguali  siano simili, cioè abbiano lo stesso rapporto con le rispettive circonferenze, anche questo dimostrato dai geometri.  Infatti quando ad angoli uguali corrispondono archi, se uno di essi è la decima parte della sua circonferenza anche tutti gli altri saranno le decime parti delle loro circonferenze.

 

 

Chi padroneggia questo non avrà difficoltà a capire il ragionamento di Eratostene, che è il seguente.

Dice che Siene e Alessandria si trovano sotto lo stesso meridiano. Poiché dunque i meridiani sono i cerchi maggiori fra quelli celesti, necessariamente anche le circonferenze terrestri che si trovano sotto di essi devono essere le maggiori. Quindi  quanto grande il ragionamento dimostrerà che sia la circonferenza che attraversa Siene e Alessandria, tanto grande sarà la maggiore circonferenza della terra. Dice dunque, ed è così, che Siene si trova sul tropico estivo. Quando il sole giunge nel cancro  e compiendo il percorso estivo sta esattamente allo zenit, gli gnomoni delle meridiane  necessariamente  non fanno ombra,  poiché il sole li sovrasta esattamente a perpendicolo. E dice che questo avviene in un raggio di trecento stadi. Invece ad Alessandria alla stessa ora gli gnomoni delle meridiane fanno ombra, poiché questa città si trova più a nord di Siene. Dunque poiché le città si trovano sotto lo stesso meridiano e maggiore cerchio, se tracciamo un arco dalla punta dell’ombra dello gnomone alla base dello gnomone della meridiana di Alessandria, questo arco sarà una parte del più grande dei cerchi che si trovano nel pozzetto della meridiana, poiché tale pozzetto si trova sotto il cerchio maggiore. Se in seguito immaginiamo delle rette che attraversano la terra partendo da ciascuno dei due gnomoni, queste giungeranno al centro della terra. Poiché allora la meridiana di Siene si trova a perpendicolo sotto il sole, qualora tracciamo una retta che vada dal sole alla punta dello gnomone, vi sarà una retta dal sole fino al centro della terra. Qualora poi tracciamo un’altra retta  dalla punta dell’ombra dello gnomone attraverso la punta dello gnomone  fino al sole a partire dal pozzetto di Alessandria, questa e la precedente retta  saranno parallele  poiché giungeranno da diverse parti del sole a diverse parti della terra. Dunque rispetto a queste parallele risulta incidentale la retta che va dal centro della terra allo gnomone di Alessandria, così che crea uguali gli angoli corrispondenti: uno di essi al centro della terra nel punto d’incontro delle rette condotte dalle meridiane al centro della terra, l’altro  all’incontro della retta che passa dalla sommità dello gnomone d’Alessandria e dalla punta della sua ombra fino al sole con la retta  condotta fino al contatto. E a questo corrisponde l’arco condotto dalla punta dell’ombra dello gnomone alla sua base, a quello al centro della terra corrisponde l’arco della distanza fra Siene e Alessandria.   Dunque gli archi risultano simili perché corrispondono ad angoli uguali: l’arco nel pozzetto è nello stesso rapporto con la propria circonferenza dell’arco fra Siene e Alessandria.  Ora quello nella meridiana si trova ad essere la cinquantesima parte della propria circonferenza, per cui necessariamente anche la distanza fra Siene e Alessandria  deve essere la cinquantesima parte del maggior cerchio terrestre: ed è di cinquemila stadi: dunque l’intera circonferenza è di 250.000 stadi.

 

E questo è il ragionamento di Eratostene.

Eratostene
L'immagine è tratta dalla voce "Raggio terrestre" dell'enciclopedia online Wikipedia, dove si troveranno notizie su Eratostene e il metodo da lui usato per la misurazione del meridiano terrestre


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